Анупам Кхер родился 7 марта 1955 года в Чандигархе. Его отец работал лесничим, постоянно бывал в разъездах и уделял мало внимания воспитанию сына. "Он, - вспоминает Анупам, - хотел, чтобы я был просто хорошим человеком. Я мог стать кем угодно: врачом, инженером, продавцом, но каким-то чудом выбрал актёрскую стезю. Может быть, потому, что с детства увлекался театром".
После окончания колледжа Анупам получил высшее образование в Национальной школе драмы, затем работал преподавателем в Лакхнау в Центре драмы Бхаратендру. Наконец, с передвижной труппой Б. Гарги он приехал на гастроли в Бомбей, где на него обратил внимание режиссёр альтернативного кино Музаффар Али. В его фильме "Aagman" (1982, "Становление") Анупам сыграл крестьянина-революционера, но картина так и не вышла на экран. Не повезло будущему актёру и с фильмом "Оставьте, как есть" (Jaane Bhi Do Yaaro, 1983, реж. Кундан Шах). Сцена, где он снимался, при монтаже была вырезана.
Главную роль в фильме "Суть" ("Saaransh", 1984) должен был играть известный индийский актёр Санджив Кумар. Его скоропостижная смерть поставила режиссёра Махеша Бхатта в безвыходное положение: либо остановить производство фильма со всеми вытекающими отсюда издержками, либо срочно найти замену. Ему порекомендовали пригласить Анупама Кхера. Для раздумий и поиска не оставалось времени. Махеш Бхатт остановился на кандидатуре ему совершенно незнакомого театрального актёра. Начались репетиции, съёмки. Успех 29-ти летнего актёра-дебютанта превзошёл все ожидания. Анупаму Кхеру удалось передать горе, отчаяние, надежду -- всю гамму чувств, настроений и переживаний 65-ти летнего учителя-пенсионера, у которого на улице в Нью-Йорке убили единственного сына. Кинозрители старшего поколения, несомненно видели этот фильм (он был в советском прокате, на видео и на DVD, правда, его не удосужились выпустить, на XIV Московском международном кинофестивале был удостоен специального приза жюри) и обратили внимание на великолепную игру не только Анупама, но и всего актёрского ансамбля. Впервые в истории кино хинди стал знаменитым актёр, сыгравший не юного влюблённого, который видит весь мир в радужных красках, а мужчину преклонных лет, нашедшего в себе силы выдержать страшный удар судьбы.
Анупам Кхер начинал свою актёрскую карьеру у режиссёра Махеша Бхатта и впоследствии он снимался во многих его картинах, рассказывающих о жизни индийской интеллигенции. В советском прокате были ещё две картины Махеша Бхатта "Рождение" ( Janam, 1985) и "Если бы ..." ('Kash', 1987) с участием Анупама Кхера.
После выхода на экран фильма "Суть" за актёром закрепилось амплуа седовласого папаши. Со временем Анупаму надоело играть одни и те же роли, и он с горя принял предложение режиссёра Субхаша Гхаи сняться в роли отрицательного героя. в его фильме "Карма" ("Karma", 1986)актёр настолько вошёл в роль доктора Данга (Dr. Michael Dang), что экранный злодей затмил положительного героя. В фильме "Палайхан" ("Palay Knan", 1986, реж. Ашим Ш. Саманта) Анупам выступил в роли картинного английского генерала, который старается помешать своей дочери общаться с индийскими повстанцами.
Анупам Кхер, несомненно, актёр широкого диапазона. Он может с предельной достоверностью играть самые различные роли. Когда он играет положительных героев, зрители в зале аплодируют от восхищения, его комические роли заставляют их смеяться до слёз, а когда он появляется на экране в виде злодея, то экспансивные индийцы готовы его линчевать, не выходя из зрительного зала.